Złożone słowo „ekstrapolacja” składa się z dwóch prostych słów. Pierwszy w języku łacińskim brzmi dodatkowo i oznacza „na zewnątrz”, „dla”, „na zewnątrz”. Drugi w tej samej łacinie brzmi „polire” i oznacza „zmień”, „wyprostuj”, „gładko”. Zasadniczo ekstrapolację można zdefiniować jako wartość poza dwoma podanymi punktami. Uważana jest za ocenę tego, co zostało wydobyte ze znanych faktów, które rozszerzają dane w nieznanym obszarze, aby osiągnąć zamierzony rezultat. Pojęcie to można również przypisać przewidywaniu obrazu przyszłości, przy założeniu prawdziwości obecnych i przeszłych trendów.
Metoda ekstrapolacji zakłada, że dane lub obserwacje w przyszłości będą nadal podobne. W ten sposób można przewidzieć przyszłe wyniki. Można to uznać za hipotezę matematyczną. Ekstrapolacja wykorzystuje dane i fakty dotyczące konkretnej sytuacji i zapewnia prognozy dotyczące tego, co może się ostatecznie wydarzyć.
Historia ekstrapolacji
Ta metoda jest często określana jako ekstrapolacja Richardsona lub metoda Romberga. Ale nie jest to całkowicie poprawne, ponieważ od stuleci istnieją podobne numeryczne metody rozwiązywania takich problemów. Dlatego słynny Richardson h2 (ekstrapolacja dla rozwiązania numerycznego) nie jest pierwszym. Podobną metodę stosowano w obliczeniach Huygensa już w 1654 r. Sam termin „ekstrapolacja” został po raz pierwszy wymyślony przez Thomasa D. Claresona w 1959 r. W książce o nauce i fikcji.
Metody ekstrapolacji można rozumieć jako rozszerzenie danych lub procesów, co sugeruje, że podobny proces zostanie zastosowany poza nimi. Ekstrapolacja to ważna koncepcja stosowana nie tylko w matematyce, ale także w innych obszarach, takich jak socjologia, psychologia, prognozowanie. Na przykład kierowca zwykle ekstrapoluje warunki jazdy poza zasięgiem jego wzroku. Ekstrapolację można przypisać metodzie, w której wartości danych są traktowane jako punkty x1, x2 ..., xn, a następnie wartość zbliża się do granicy danego zakresu punktów.
Korzyści z użytkowania:
- Prosta metoda prognozowania.
- Wymagane jest niewiele danych.
- Szybka i tania analiza.
Metoda istnieje w statystykach. Jeśli jakieś wartości są okresowo usuwane, odpowiedź zbliża się do następnego punktu danych. Przykładem metody ekstrapolacji jest prognoza pogody, która bada tło danych i ekstrapoluje przewidywany model przyszłości. Jeszcze prostszy przykład, jeśli masz informacje na temat niedziel, poniedziałków i wtorków, możesz ekstrapolować środę lub czwartek.
Wady korzystania z ekstrapolacji:
- Niewiarygodność, jeżeli występują znaczące wahania danych historycznych.
- Założenie, że dotychczasowy trend będzie kontynuowany w przyszłości, jest praktycznie niemożliwe w wielu konkurencyjnych środowiskach biznesowych.
- Ignoruje czynniki jakości, takie jak zmiany gustów i mody.
Przyspieszenie sekwencji
Metody ekstrapolacji to utworzenie linii stycznej na końcu znanych danych i rozwinięcie jej poza ten obszar. Podobnie jak interpolacja, ekstrapolacja wykorzystuje wiele metod, które wymagają wcześniejszej znajomości procesu, który tworzy istniejące punkty danych. Metoda obejmuje ekstrapolację liniową i wielomianową, ekstrapolację stożkową i krzywą francuską.
Z reguły jakość konkretnej metody jest ograniczona założeniami dotyczącymi funkcji. W analizie numerycznej ekstrapolacja Richardsona jest metodą przyspieszania sekwencji stosowaną w celu poprawy szybkości konwergencji.Jego nazwa pochodzi od Lewisa Fry'ego Richardsona. Wprowadził technikę obliczeń na początku XX wieku, której przydatności do praktycznych obliczeń trudno przecenić.
Praktyczne zastosowania ekstrapolacji Richardsona obejmują integrację Romberga, która stosuje ją do reguły trapezoidalnej i algorytmu Bulliersa-Stoehra do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.
Metoda liniowa
Metoda ekstrapolacji liniowej jest użyteczna, gdy określona jest funkcja liniowa. Odbywa się to poprzez narysowanie linii stycznej w punkcie końcowym danego wykresu i rozwinięcie jej poza. Ta metoda ekstrapolacji w prognozowaniu daje dobre wyniki, gdy przewidywany punkt nie jest zbyt daleko od danych. Interpolacja liniowa jest przydatna w znajdowaniu wartości między podanymi punktami. Można to uznać za „uzupełnienie braków” w tabeli danych.
Liniową strategią interpolacji jest użycie linii prostej do połączenia znanych punktów wartości po obu stronach nieznanego. Interpolacja liniowa nie jest dokładna dla parametrów nieliniowych. Jeśli punkty w zestawie danych zmieniają się o dużą wartość, interpolacja liniowa może dać niepoprawne oszacowanie.
Ekstrapolacja liniowa może pomóc oszacować wartości, które są wyższe lub niższe niż wartości w zestawie danych. Jego strategia polega na wykorzystaniu podzbioru danych zamiast całego zestawu. W przypadku tego typu wartości przydatne jest zastosowanie metody ekstrapolacji w prognozowaniu z wykorzystaniem dwóch lub trzech ostatnich punktów w celu oszacowania wartości przekraczającej zakres danych.
Ekstrapolacje wielomianowe i stożkowe
Wiadomo, że trzy punkty dają unikalny wielomian. Krzywą wielomianową można kontynuować po zakończeniu takich danych. Zwykle odbywa się to metodą Newtona ze skończoną różnicą lub przy użyciu wzoru interpolacji Lagrange'a. Wielomian wyższego rzędu powinien być ekstrapolowany z należytą starannością, ponieważ istnieje spora szansa na błąd przy ekstrapolacji wielomianowej. Jeśli tak się stanie, oszacowanie błędu wzrośnie wykładniczo wraz ze stopniem wielomianu.
W matematyce minimalna ekstrapolacja wielomianowa jest transformacją sekwencji stosowaną do przyspieszenia konwergencji. Chociaż metoda Aitkena jest najlepiej znana, często zawodzi, szczególnie w przypadku sekwencji wektorowych. W takim przypadku wykonywana jest iteracja, która konstruuje macierz. Jego kolumny są różnicami.
Na przykład metodę ekstrapolacji dla odcinka stożkowego można wykonać przy użyciu 5 punktów wskazanych na końcu danych. W przypadku gdy sekcja stożkowa jest kołem lub elipsą, zapętla się z powrotem i ponownie łączy ze sobą. Parabola lub hiperbola nigdy się nie przecinają. Można je jednak wygiąć do tyłu wokół osi X. Ekstrapolację stożka można wykonać na papierze za pomocą sekcji stożkowej lub za pomocą komputera.
Metoda oceny matematycznej
W tej metodzie ekstrapolacji przewidywana jest wartość okresu bazowego. Działania opisane poniżej są automatycznie wykonywane przez system i nie są widoczne dla użytkownika. Opis ma na celu dopracowanie algorytmu, który wyświetla oczekiwane wartości z ilości przechowywanej w systemie i przewiduje wynik pomiaru miernika.
Ekstrapolacja przy użyciu definicji wielkości procedury odbywa się za pomocą funkcji: Yt = f (yi, t, aj).
Jako podstawę do ekstrapolacji dodaje się zaokrąglone dane typowego okresu bazowego przechowywane w wynikach odczytu. System określa wagę Yt danych szeregów czasowych wt (czas okresu prognozy), aby uzyskać prawidłowe rozwiązanie poprzez ekstrapolację. Gdzie w punkcie odniesienia są brane yi - poziom szeregu i aj - parametr równania trendu.
Prognozowanie funkcji
Metoda ustalania krzywej statystycznej ma zastosowanie do funkcji prognozowania.Procedury statystyczne odpowiadają przeszłym danym jednej lub więcej funkcji matematycznych, takich jak liniowa, logarytmiczna, Fouriera lub wykładnicza. Najlepsze są wybierane za pomocą testu statystycznego. Następnie ta prognoza jest ekstrapolowana z tego matematycznego połączenia metodą matematycznej ekstrapolacji. Jednym z najprostszych sposobów uzyskania przybliżonych oszacowań przyszłych (lub przeszłych) warunków jest ekstrapolacja danych, które zmieniają się w czasie.
Na przykład, jeśli musisz dokonać zgrubnej oceny przyszłych poziomów zanieczyszczeń w wodzie pitnej z 20-letnim wyprzedzeniem, możesz ekstrapolować ten trend z ostatnich 20 lat. To samo obserwuje się, jeśli w przyszłości konieczne będzie oszacowanie częstości palenia tytoniu lub raka płuc. Prognozę można wykonać, obliczając trendy w ostatnich latach. Ekstrapolacje tego typu można wykonać przy użyciu mniej złożonych metod. W wielu przypadkach (szczególnie w obszarach marketingu i zarządzania przedsiębiorstwem) metoda ekstrapolacji jest tradycyjnie stosowana, na przykład poprzez przeglądanie najnowszych danych i intuicyjną ocenę tego, co należy rozumieć w przyszłości.
Metody oparte na regułach można również zastosować, stosując zestaw predefiniowanych zasad lub oczekiwań w oparciu o wstępne zrozumienie systemu i biorąc pod uwagę najnowsze dane do interpretacji przyszłych zdarzeń.
Przy każdej metodzie ekstrapolacji ostrożność jest ważna ze względu na liczne niejasności. Każda procedura ekstrapolacji opiera się na założeniu, że wiarygodne informacje są dostępne na podstawie danych i wiedzy z przeszłości. W związku z tym przyszłość zależy od tych samych czynników, które działały wcześniej.
Błędy prognozowania
Błąd ekstrapolacji (a dokładniej błąd nieuzasadnionej ekstrapolacji) ma miejsce, gdy zjawisko odpowiedzialne za szereg trywialnych efektów lokalnych jest uważane za wielkie zjawisko globalne. Innym powodem błędu jest to, że czasami ogólne zasady są wywnioskowane na podstawie zbyt małej liczby faktów. Tak więc teoria ewolucji Darwina jest fantastycznym przykładem zastosowania metody ekstrapolacji, w której ogłaszane są mechanizmy losowych zmian i doboru naturalnego, aby uwzględnić rozwój tak złożonych struktur, jak widzenie ssaków czy układ odpornościowy organizmów żywych.
Próbując interpretować wyniki badań, naukowiec powinien unikać ekstrapolacji poza zakresem danych i być świadomym podstawowych założeń, aby uniknąć przyjęcia nieprawidłowych wniosków. Ogólnie rzecz biorąc, ekstrapolacja jest uzasadnionym narzędziem naukowym. Istnieją dwa aspekty, które pomagają odróżnić prawidłową i błędną ekstrapolację. Prawdopodobieństwo błędnej ekstrapolacji jest wyższe, gdy uzyskano punkty za niewystarczające dane do jej budowy.
Narzędzia statystyczne Excel
Aby znaleźć korelację między latami a wynikami (na przykład w firmie), możesz użyć programu Excel.
Do tych zadań używane są narzędzia statystyczne do modelowania ekstrapolacji, które są wbudowane we wszystkie wersje programu Excel, począwszy od 97. Procedura:
- Wprowadź znane wartości, na przykład całkowitą sprzedaż na lata 2016–2017, jeśli chcesz je ustalić na lata 2018 i 2020.
- Zainstaluj analizę, funkcję wymagającą użycia dodatku.
- Aby go zainstalować, wypakuj z menu „Narzędzia”, „Dodatki”.
- Sprawdź okno narzędzia analizy i potwierdź przyciskiem „OK”.
- Zmierz korelacje między dwiema seriami.
- Ekstrapolacja, którą należy wykonać, ma sens tylko wtedy, gdy istnieje wyraźny trend (korelacja) między dwoma zestawami liczb (lata i sprzedaż) metodą ekstrapolacji trendów.
- Aby zmierzyć tę korelację, użyj menu „Narzędzia”, „Narzędzia analizy”.
- Z listy „Narzędzia analizy” wybierz „Analiza korelacji” i kliknij „OK”.
- W polu Zakres wejściowy wprowadź analizowany zakres, na przykład A6: B18, Excel doda symbol „$”.
- W obszarze „Opcje wyjściowe” sprawdź zakres wyjściowy i wprowadź go w sąsiednim polu.
- Potwierdź za pomocą OK.
- Excel tworzy tablicę dwóch wierszy w dwóch kolumnach. Znajdź obliczoną wartość (na przykład 0,981). Ponieważ wartość ta jest bliska 1, oznacza to, że istnieje silna korelacja między latami a wielkościami sprzedaży. Jeśli użytkownik otrzyma wartość zbliżoną do zera, będzie to oznaczać, że trend nie wystąpi. W takim przypadku ekstrapolacja nie ma sensu.
- Rozpocznie się ocena przyszłych wartości.
- Wybierz wymagany zakres i kliknij przycisk „Kreator wykresów”.
- Wybierz wykres (na przykład chmury punktów) i kliknij przycisk Zakończ.
Zastosowanie średnich kroczących
Te dwie metody ekstrapolacji obejmują powszechne wykorzystanie danych dotyczących sprzedaży do przewidywania przyszłości. Ruchoma wartość średnia bierze szereg danych i „wygładza” fluktuacje. Celem jest wyodrębnienie ekstremów danych z okresu na okres. Średnie kroczące obliczane są często kwartalnie lub co tydzień. Aby przewidzieć przyszłe wartości, ekstrapolacja obejmuje wykorzystanie trendów ustalonych na podstawie danych historycznych. Głównym założeniem ekstrapolacji jest to, że próbka będzie kontynuowana w przyszłości, chyba że faktyczne dowody wskazują inaczej. Aby zrozumieć te metody bardziej szczegółowo, możesz rozważyć wykres pokazujący sprzedaż gadżetów dla dużych firm w latach 2012-2015.
Ta metoda ekstrapolacji obliczeń pokazuje rzeczywistą wielkość sprzedaży. Jak widać, łączna wielkość sprzedaży zmienia się z roku na rok, chociaż można zgadywać (patrząc na dane), że istnieje ogólny trend wzrostu sprzedaży. Czarna linia pokazuje średnią ruchomą. Oblicza się to przez dodanie ostatnich lat sprzedaży (np. Q1 + Q2 + Q3 + Q4), a następnie podzielenie przez cztery.
Ta metoda wygładza roczne zmiany i daje dobry obraz ogólnego trendu w rocznej sprzedaży. Średnia ruchoma pomaga wskazać trend wzrostu wyrażony w procentach. To właśnie ta ekstrapolacja zostanie wykorzystana jako pierwsza, aby przewidzieć ścieżkę przyszłej sprzedaży. Można to zrobić matematycznie za pomocą arkusza kalkulacyjnego. Alternatywnie ekstrapolowany trend można po prostu narysować na wykresie jako przybliżony szacunek.
Korelacja trendów
Zawsze jedna technologia jest prekursorem drugiej. Dzieje się tak, gdy postęp dokonany w technologii prekursorowej może zostać przyjęty przez technologię obserwującą. Gdy takie relacje istnieją, wiedza na temat zmian w technologii poprzedników może być wykorzystana do przewidywania postępu zwolenników technologii w przyszłości. Ponadto ekstrapolacja prekursora pozwala przewidzieć kontynuację obserwacji poza opóźnieniem czasowym.
W tym przypadku stosuje się metodę ekstrapolacji trendów, w której porównuje się na przykład trendy prędkości samolotów wojskowych i transportowych. Innym przykładem prognozowania korelacji trendów jest przewidywanie wielkości i mocy przyszłych komputerów w oparciu o postęp w technologii mikroelektronicznej. Czasami technologia obserwujących zależy od kilku technologii prekursorów, ale nie od jednego poprzednika.
Stałe kombinacje poprzedników mogą wpływać na zmianę sekwencji, ale częściej kombinacje nie są ustalone, a dane wejściowe poprzedników różnią się zarówno kombinacją, jak i siłą. Na przykład wzrost prędkości samolotu może wystąpić z powodu poprawy silników, materiałów, elementów sterujących, paliwa, aerodynamiki i różnych kombinacji tych czynników.
Przykład prognozy korelacji uzyskanej przez ekstrapolację trendów: całkowita liczba mil pasażerskich, całkowita liczba mil geograficznych i średnia moc lądowania.Ekstrapolacja statystycznie określonych trendów pozwala na obiektywne podejście do prognozowania. Jednak takie podejście ma poważne ograniczenia i pułapki. Wszelkie błędy lub nieprawidłowe wybory dokonane przy określaniu danych historycznych zostaną odzwierciedlone w prognozie, co obniży jej wartość.
Aplikacje, atrybuty i ograniczenia
Metoda ekstrapolacji należy do dziedziny prognozowania. Sugeruje, że wzorce, które istniały w przeszłości, będą kontynuowane w przyszłości oraz że wzorce te są regularne i można je mierzyć. Innymi słowy, przeszłość jest dobrym wskaźnikiem przyszłości. Aplikacje są przydatne do opracowywania danych bazowych.
Atrybuty i ograniczenia to proste i tanie narzędzia obliczeniowe, a także złożone modele teoretyczne.
- Dane procesowe - wykresy i obserwacje.
- Kluczem jest posiadanie dobrej bazy danych i zrozumienie struktury w niej zawartej.
- Technika to najlepsze dopasowanie, stosunek i tak dalej.
Tymczasowe standardowe procedury statystyczne nie prowadzą do dokładnego wyboru trendów, które prognostyk może wygodnie ekstrapolować, wykonując prognozę poprzez ekstrapolację. W takich przypadkach przepowiednia może „skorygować” wyniki statystyczne za pomocą osądu. Może również całkowicie ignorować statystyki i ekstrapolować cały trend na podstawie osądu.
Prognozy generowane w ten sposób są mniej dokładne niż prognozy statystyczne, ale niekoniecznie niezadowalające. Jednym z przykładów takiej ekstrapolacji trendu jakości jest przewidywanie złożoności samolotu. Próby oszacowania tego trendu nie powiodły się. Ale procent ruchomych lub regulowanych części samolotu był ekstrapolowany z częstotliwością, z jaką takie elementy były wprowadzane w przeszłości. Prognozy te były dość dokładne.
W ten sposób nie można przewidzieć konkretnych zmian technicznych, ale można to zmienić. Zapewnia to przydatne materiały do planowania, wskazujące trend w zachowaniu w przeszłości.